Números Reales
Los números reales son aquellos que podemos representar gráficamente en una recta
llamada eje real, que va desde menos infinito hasta infinito, ordenado y continuo.
Los números reales que se denotan como: $\mathbb{R}$ contienen a:
Los números naturales que son el $1, 2, 3 ,4,$ etc. hasta infinito y se les denota como: $\mathbb{N} = ${ $1, 2, 3 ,4, . . . $}.
Los números enteros que son el $0, \pm1, \pm2, \pm3,$ etc. desde menos infinito hasta infinito y se les denota como: $\mathbb{Z} =$ { $. . . -2, -1, 0, 1, 2, . . .$ }. Contienen a los naturales.
Los números racionales que son todos los que pueden escribirse como el cociente de dos enteros con el denominador diferente de cero y se les denota como:
$\mathbb{Q}=$ { $\frac{m}{n} : m\in\mathbb{Z}$ y $n\in\mathbb{N}$ } su expresión decimal es infinita periódica (pudiendo ser cero el periodo). Ejems: $\frac{5}{2}=2.500…, \frac{1}{3}=0.333…, - 2 =\frac{-2}{1}$ . Contienen a los enteros.
Los números irracionales que son todos los que no pueden escribirse como el cociente de dos enteros y se les denota como: $\mathbb{I} =$ {$ x : x \not\in \mathbb{Q} $} su expresión decimal es infinita no periódica. Ejems: $ \sqrt{2} \approx 1.414213, 2π \approx 6.2832$.
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de los números reales.
Los intervalos pueden ser:
Intervalos abiertos, cuando se refieren a todos los números entre dos números dados sin incluirlos.
Por ejemplo todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{a}$ y el número $\boldsymbol{b}$ sin incluirlos y se denotan como:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(a, b)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid a < x < b}$},
o simplemente $\boldsymbol{a < x < b}$
Ya que siempre se estará trabajando en los reales.
Gráficamente:
Todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{-2}$ y el número $\boldsymbol{4}$ sin incluirlos:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-2, 4)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid -2 < x < 4}$},
o simplemente $\boldsymbol{-2 < x < 4}$
Ya que siempre se estará trabajando en los reales.
Gráficamente:
Intervalos cerrados, cuando se refieren a todos los números entre dos números dados incluyéndolos.
Por ejemplo todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{a}$ y el número $\boldsymbol{b}$ incluidos y se denotan como:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in[a, b]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$},
o simplemente $\boldsymbol{a \leq x \leq b}$
Ya que siempre se estará trabajando en los reales.
Gráficamente:
Todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{-2}$ y el número $\boldsymbol{4}$ incluidos:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in[-2, 4]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid-2 \leq x \leq 4 }$},
o simplemente $\boldsymbol{-2 \leq x \leq 4}$
Ya que siempre se estará trabajando en los reales.
Gráficamente:
Intervalos semiabiertos o semicerrados: cuando se refieren a todos los números entre dos números dados incluyendo uno y excluyendo el otro.
Por ejemplo todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{a}$ sin incluirlo
y el número $\boldsymbol{b}$ incluido y se denotan como:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(a, b]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b}$},
o simplemente $\boldsymbol{a < x \leq b}$
Gráficamente:
Todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{-2}$ sin incluirlo
y el número $\boldsymbol{4}$ incluido:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-2, 4]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid-2 < x \leq 4}$ },
o simplemente  $\boldsymbol{-2 < x \leq 4}$
Gráficamente:
Otra posibilidad es todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{a}$ incluido
y el número $\boldsymbol{b}$ sin incluirlo y se denotan como:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in[a, b)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid a \leq x < b}$},
o simplemente $\boldsymbol{a ≤ x < b}$
Gráficamente:
Todos los números $\boldsymbol{x}$ entre el número $\boldsymbol{-2}$ incluido
y el número $\boldsymbol{4}$ sin incluirlo:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in[-2, 4)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid-2 \leq x < 4}$},
o simplemente $\boldsymbol{-2 \leq x < 4}$
Gráficamente:
Intervalos infinitos
Todos los números menores que el número $\boldsymbol{a}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-\infty , a)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid x < a}$},
o simplemente $\boldsymbol{ x < a}$
Gráficamente:
Todos los números menores que el número $\boldsymbol{-2}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-\infty, -2)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid x < -2}$},
o simplemente $\boldsymbol{x < -2}$
Gráficamente:
Todos los números menores o iguales que el número $\boldsymbol{a}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-\infty, a]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R} \mid x \leq a }$},
o simplemente $\boldsymbol{x ≤ a}$
Gráficamente:
Todos los números menores o iguales que el número $\boldsymbol{-2}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-\infty, -2]}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid x \leq -2}$},
o simplemente $\boldsymbol{x \leq -2}$
Gráficamente:
Todos los números mayores que el número $\boldsymbol{a}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(a, \infty)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid x > a}$},
o simplemente $\boldsymbol{x > a}$
Gráficamente:
Todos los números mayores que el número $\boldsymbol{-2}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in(-2, \infty)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid x > -2}$},
o simplemente $\boldsymbol{ x > -2}$
Gráficamente:
Todos los números mayores o iguales que el número $\boldsymbol{a}$:
Todos los números mayores o iguales que el número $\boldsymbol{-2}$:
Intervalo:
$\boldsymbol{x\in[-2,\infty)}$
Conjunto:
{$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}\mid x \geq -2}$},
o simplemente $\boldsymbol{x \geq -2}$
Gráficamente:
Al intervalo que no contiene elementos se le llama conjunto vacío y se le denota como $\varnothing$.
Al intervalo que contiene a todos los elementos se le llama universo, en el caso de estos apuntes los números reales $\mathbb{R}$.