UAM-A

Límites

Definición intuitiva de límite.

El límite $L$ de una función $y = f ( x )$ cuando $x$ tiende a $c$,
es el valor al que la función (valor de $y$) se acerca o toma,
cuando $x$ se acerca al valor de $c$, sin coincidir nunca con él.

Se denota como:

                                          $$\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L$$

Se lee: el límite de $f ( x )$ cuando $x$ tiende a $c$ es igual a $L$.

Nótese que:

  1. La función debe estar definida en un intervalo abierto que contenga al punto $c$, excepto, posiblemente, en ese punto $c$ ya que $x$ nunca tomará ese valor.

  2. El valor de la función debe acercarse tanto como se quiera al valor de L, tomando el valor de $x$ suficientemente cerca de $c$.

Numéricamente podemos estimar el valor de $L$ al evaluar la función cerca de $c$, tomando valores menores y mayores que $c$, cada vez más cerca de $c$, esto es:

$x $ $y=f (x)$
$x_1 $ $y_1=f (x_1)$
$x_2 $ $y_2=f (x_2)$
$x_3 $ $y_3=f (x_3)$
$...$
$...$
$\rightarrow c \;$
con $x≠c $
$\rightarrow L \;$
$y_n ≅L$

Donde $x_i$ son valores cerca de $c$ (menores y mayores que $c$ ) y $y_i$ son los valores correspondientes de la función en esos puntos.
Por ejemplo, calcular $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^2-8}{x-2}\;\; $$
Numéricamente:

$x $ $\;\;y=f (x)=\frac {2x^2-8}{x-2}\;\;$
$2.1$ $y=8.2$
$1.9$ $y=7.8$
$2.01$ $y=8.02$
$1.99$ $y=7.98$
$x_i\rightarrow 2 \;$
con $x≠2 $
$y_i≈8$ por lo que se
estima que $L=8$

Algebraicamente, es mejor, se tiene que: $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^2-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}2 (x+2)=8\;\;\;\;\; $$

Esto confirma que el límite estimado numéricamente era correcto.

Nótese que se pudo cancelar el factor $x-2$ porque $x ≠ 2$ y entonces ese factor es diferente de cero; además al final se calcula el límite sustituyendo $x = 2$ considerando que es un valor muy cerca de $2$ pero diferente de él.

Gráficamente se puede ver que conforme el valor de $x$ se acerca a $2$ los valores de $y$ se acercan a $8$ aún cuando en $x=2$ no se tiene imagen.

   

Si en el cálculo del límite de un cociente, queda $\frac{0}{0}\;$ al substituir el valor de $x = c$ se dice que es una forma indeterminada y entonces hay que trabajar algebraicamente la función para remover la indeterminación, como se hizo en el ejemplo anterior.

Reglas para calcular límites.

$$1.-\lim_{x\rightarrow c}k=k$$ El límite de una constante cuando $x$ tiende a cualquier valor $c$ es la constante.

De acuerdo a la definición dada, se puede justificar ese resultado considerando que $y=f(x)=k$, es gráficamente una recta horizontal que corta al eje $y$ en $k$, entonces para cualquier valor de $x$ la $y$ correspondiente no sólo se acerca, sino que coincide con $k$.

Gráficamente:

   

$$2.-\lim_{x\rightarrow c}x=c$$ El límite de $x$ cuando $x$ tiende a $c$ es igual a $c$.

También se puede justificar ese resultado considerando que $y=f(x)=x$, asocia a cada valor de $x$ ese mismo valor para $y$ (función identidad, gráficamente es una recta a $45°$) entonces cuando $x$ tiende $c$ la $y$ correspondiente también se acerca a $c$, tanto como se quiera.

Gráficamente:

   




En general, si se tiene que $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$$     $$\lim_{x\rightarrow c}g\;(x)=M$$ entonces:

$$3.-\lim_{x\rightarrow c}(f±g\;)(x)=\lim_{x\rightarrow c}f(x)±\lim_{x\rightarrow c}g\;(x)=L±M\;\;$$ El límite de una suma o resta de dos funciones es la suma o resta de sus límites.

$$4.-\lim_{x\rightarrow c}(f\;g\;)(x)=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\lim_{x\rightarrow c}g\;(x)=LM\;\;$$ El límite de un producto de dos funciones es el producto de sus límites.

$$5.-\lim_{x\rightarrow c}(f/g\;)(x)=\lim_{x\rightarrow c}f(x)/\lim_{x\rightarrow c}g\;(x)=\frac{L}{M}\;\;\;$$ El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de sus límites, siempre y cuando $\lim_{x\rightarrow c}⁡g(x)≠0$.

Estas tres reglas se pueden justificar tomando en cuenta que cuando $x$ tiende a $c$, $f(x)$ se acerca a $L$ y $g(x)$ se acerca a $M$, intuitivamente se ve que la suma $f+g$ debe acercarse a $L+M$ y entonces el límite de la suma $f+g$ debe ser $L+M$, de manera análoga para la resta, el producto y el cociente cuidando en este último que el denominador sea diferente de cero.

También se tendrá que:
$$6.-\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n] {f (x)}=\;\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f (x)}=\;\sqrt[n] {L} \;\;\;\;\;\; $$ tomando en cuenta que para $n$ par $L$ debe ser mayor que cero.

Si para $n$ par, $L=0$ se debe verificar que cuando $x\rightarrow c\;$, $f(x)$ se acerque a cero tomando únicamente valores positivos para que el resultado esté en los reales, y el límite sea igual a cero. Por ejemplo $\underset{x\to 0}{\lim}\sqrt{x^2}=0\;\;$ pero $\underset{x\to 0}{\lim}\sqrt{x}\;no \;existe\;$ porque cuando $x$ se acerca a cero tomando valores negativos los valores correspondientes de $y=\sqrt{x}\;\;$ no están en los reales.

Ejemplo 1

Calcular $\underset{x\to -2}{\lim}\frac{7x-3x^2+26}{2x^2+5x+2}$.
$$\lim_{x\rightarrow-2}\frac{7x-3x^2+26}{2x^2+5x+2}:\;\frac{-14-12+26}{8-10+2}=\;\frac{0}{0}:indeterminado$$
$$L=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{(x+2)(-3x+13)}{(x+2)(2x+1)}=\;\lim_{x\rightarrow-2}\frac{-3x+13}{2x+1}=\;\frac{6+13}{-4+1}=\;-\frac{19}{3}\;$$

Nótese que la factorización no debe de ofrecer problema ya que si un polinomio de grado n, $P_n\;(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, vale cero para un valor de $x$ por ejemplo $x=r$ ese valor es una raíz del polinomio y $x-r$, es un factor en su factorización, esto es: $P_n(x)=(x-r)Q_{n-1}(x)$ donde $Q_{n-1}(x)$ es otro polinomio de grado menor en uno, y $Q_{n-1}(x)=\frac{P_n(x)}{x-r}\;$.

En este caso el polinomio es de $2°$ grado así que conociendo un factor; $(x+2)$ el otro se puede obtener de manera directa.

Ejemplo 2

Calcular $\underset{x\to 0}{\lim}\frac{x^4+x^2-2x}{x^3-1}$.
$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4+x^2-2x}{x^3-1}=\frac{0}{-1}=0.$$

Ejemplo 3

Calcular $\underset{x\to 1}{\lim}\frac{x^4+x^2-2x}{x^3-1}$.
$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^2-2x}{x^3-1}:\frac{1+1-2}{1-1}=\frac{0}{0}:\;\;indeterminado$$
$$x^4+x^2-2x=(x-1)P_3(x)\;;\;P_3(x)=\frac{x^4+x^2-2x}{x-1}=x^3+x^2+2x\;\;$$ $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+2x)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\;\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+x^2+2x}{x^2+x+1}=\frac{4}{3}\;\;\;$$

Ejemplo 4

Calcular $\underset{x\to -3}{\lim}\frac{x+\sqrt{2x^2-x-12}}{2x^2+x-15}$.
$$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x+\sqrt{2x^2-x-12}}{2x^2+x-15}:\frac{-3+\sqrt{18+3-12}}{18-3-15}=\frac{-3+\sqrt{9}}{0}=\frac{0}{0}:\;indet\;\;\;$$

en este caso el numerador no es un polinomio, por lo que no se tiene un factor, sin embargo se puede racionalizar multiplicando por uno

$$L=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x+\sqrt{2x^2-x-12}}{2x^2+x-15}. \frac{x-\sqrt{2x^2-x-12}}{x-\sqrt{2x^2-x-12}}= $$ $$=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^2-(2x^2-x-12)}{(2x^2+x-15)(x-\sqrt{2x^2-x-12})}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x^2+x+12}{(2x^2+x-15)(x-\sqrt{2x^2-x-12})}:\frac{-9-3+12}{0(-3-3)}=\frac{0}{0}:\;indet\;\;$$ $$L=\lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x+3)(-x+4)}{(x+3)(2x-5)(x-\sqrt{2x^2-x-12})}=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x+4}{(2x-5)(x-\sqrt{2x^2-x-12})}=$$ $$=\frac{3+4}{(-6-5)(-3-3)}=\frac{7}{-11(-6)}=\frac{7}{66}\;\;\;$$

Ejemplo 5

Calcular $\underset{x\to 5}{\lim}\frac{2x-3x^2+65}{3x-\sqrt{2x^2-3x+190}}$.
$$\lim_{x\rightarrow 5}\frac{2x-3x^2+65}{3x-\sqrt{2x^2-3x+190}}:\frac{10-75+65}{15-\sqrt{50-15+190}}=\frac{0}{15-\sqrt{225}}=\frac{0}{0}:\;indeterminado.$$ $$L=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{2x-3x^2+65}{3x-\sqrt{2x^2-3x+190}}.\frac{3x+\sqrt{2x^2-3x+190}}{3x+\sqrt{2x^2-3x+190}}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{(x-5)(-3x-13)(3x+\sqrt{2x^2-3x+190})}{9x^2-(2x^2-3x+190)}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{(x-5)(-3x-13)(3x+\sqrt{2x^2-3x+190})}{7x^2+3x-190}:\frac{0}{175+15-190}=\frac{0}{0}:\;indeterminado.$$ $$L=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{(x-5)(-3x-13)(3x+\sqrt{2x^2-3x+190})}{(x-5)(7x+38)}=\lim_{x\rightarrow 5}\frac{(-3x-13)(3x+\sqrt{2x^2-3x+190})}{7x+38}=$$ $$=\frac{(-15-13)(15+15)}{35+38}=\frac{-28(30)}{73}=-\frac{840}{73}.$$