Límites Trigonométricos

Recordamos que el límite $L$ de cualquier función $y = f ( x )$, las trigonométricas entre ellas, cuando $x$ tiende a un valor $a$, es el valor al que la $y$ o función se acerca (o toma) cuando la $x$ toma valores muy cerca de $a$ sin coincidir nunca con ese valor de $a$.
$$\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L$$ La función debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a $a$ excepto, posiblemente, en ese valor $a$.

De acuerdo con la definición de las funciones $seno$ y $coseno$, como la ordenada y la abscisa de un punto $P$ que se mueve en una circunferencia unitaria en un sistema de ejes coordenados, determinando el ángulo $x$ en cada posición; intuitivamente podemos establecer que: $$\underset{x\to a}{\lim}sen(x)=sen(a) \; \; \; y \; \; \; \underset{x\to a}{\lim}cos(x)=cos(a)$$ para todo valor de $a$ en los reales, ya que son funciones definidas en todos los reales y para un pequeño cambio en la posición de $P$ se dará un pequeño cambio en los valores de $x$ (el ángulo), el $sen \;x$ (ordenada de $P$) y el $cos\; x$ (abscisa de $P$), y entonces el valor del límite coincidirá con el de la imagen. Las funciones seno y coseno son continuas en todo su dominio que es todos los reales.

Pero $\underset{x\to \infty}{\lim}sen(x)=No\;existe$ y $\underset{x\to \infty}{\lim}cos(x)=No\;existe$ ya que las dos funciones son periódicas, están variando entre menos uno y uno.

Las funciones seno y coseno no tienen asíntotas horizontales ni verticales.

Hay dos límites importantes que involucran al seno y el coseno y que nos servirán para obtener otros límites y principalmente sus derivadas.

Inicialmente son indeterminados de la forma cero sobre cero:

$$\underset{x\to 0}{\lim}\frac{sen(x)}{x}:\frac{0}{0}:\; indeterminado $$ y $$\underset{x\to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}:\frac{0}{0}:\; indeterminado $$ El primero puede demostrarse geométricamente. Lo comprobaremos aritméticamente:

$$x$$	$\;f(x)=\frac{sen\;(x)}{x}\;$
$$0.1$$	$\frac{sen(0.1)}{0.1}=\frac{0.099833)}{0.1}=0.99833$
$$-0.1$$	$\frac{sen(-0.1)}{-0.1}=\frac{-0.099833)}{-0.1}=0.99833$
$$0.01$$	$\frac{sen(0.01)}{0.01}=\frac{0.009998)}{0.01}=0.99998$
$$-0.01$$	$$\frac{sen(-0.01)}{-0.01}=\frac{-0.0099998)}{-0.01}=0.99998$$
$$↓$$ $$0$$	$$↓$$ $$1$$
	De donde: $\underset{x\to 0}{\lim}\frac{sen(x)}{x}=1.$

Es importante señalar que la función seno debe calcularse para $x$ en radianes, ya que $x$ es un número real sin unidades específicas y no grados.

Basándonos en el primer límite se puede obtener el segundo como sigue:

$\underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}.\frac{cos(x)+1}{cos(x)+1}=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos^2(x)-1}{x(cos(x)+1)}=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{-sen^2(x)}{x(cos(x)+1)}=-\underset{x \to 0}{\lim}\frac{sen(x)}{x}.\frac{sen(x)}{(cos(x)+1)}=-1.\frac{0}{1+1}=0.$ $$Así:\; \underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}=0.$$

Ejemplo 1

Calcular:
$$\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{sen(3x)}{5x}$$
$$L=\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{sen(3x)}{5x}:\frac{sen(0)}{5\cdot (0)}=\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{x \to 0}{\lim}\;\frac{3}{5}\;\left(\frac{sen(3x)}{3x}\right)=\frac{3}{5}(1)=\frac{3}{5}.$$ Ya que: $\underset{u \to 0 }{\lim}\frac{sen(u)}{u}=1.$

Ejemplo 2

Calcular:
$$\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{5x\cdot cot(3x)}{2sec(x)}$$
$$L=\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{5x \cdot \frac{cos(3x)}{sen(3x)}}{2\cdot \frac{1}{cos(x)}}=\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{5x\cdot cos(3x)\cdot cos(x)}{2sen(3x)}:\frac{0(1)(1)}{2(0)}=\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{5x\cdot cos(3x)\cdot cos(x)}{2\cdot\frac{sen(3x)}{3x}\cdot 3x}=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{5cos(3x)\cdot cos(x)}{6\cdot \frac{sen(3x)}{3x}}=\frac{5(1)(1)}{6(1)}=\frac{5}{6}.$$

Ejemplo 3

Calcular:
$$\underset{θ \to 0 }{\lim}\frac{3θ^2-6 tan(2θ)}{3θ}$$
$$L=\underset{θ \to 0 }{\lim}\frac{3θ^2-6\cdot \frac{sen(2θ) }{cos(2θ)}}{3θ}:\frac{3\cdot 0^2-6\cdot (\frac{0}{1})}{3 \cdot 0}=\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{θ \to 0 }{\lim}\left(\frac{3θ^2}{3θ}-\frac{6sen(2θ)}{3θ\cdot cos(2θ)}\right)=\underset{ θ \to 0}{\lim}θ-\underset{ θ \to 0}{\lim}\frac{4sen(2θ)}{2θ\cdot cos(2θ)}$$ $$L=0-4\cdot \underset{ θ \to 0}{\lim}\frac{sen(2θ)}{2θ}\cdot \underset{ θ \to 0}{\lim}\frac{1}{ cos(2θ)}=0-(4) (1)(1)=-4.$$

Ejemplo 4

Calcular:
$$\underset{t \to 1}{\lim}(3t^2-3)csc(4t-4)$$
$$L=\underset{t \to 1}{\lim}(3t^2-3)\;\left(\frac{1}{sen(4t-4)}\right):\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{t \to 1}{\lim}\frac{3(t-1)(t+1)}{\frac{sen(4t-4)}{4t-4}(4t-4)}=\underset{t \to 1}{\lim}\frac{3(t-1)(t+1)}{4(t-1)\left(\frac{sen(4t-4)}{4t-4}\right)}=\frac{3(2)}{4(1)}=\frac{3}{2}.$$ Nótese que tomando $u=4t-4 , $ cuando $t → 1$ , $u → 0$ y se tiene que $\underset{u \to 0 }{\lim}\frac{sen(u)}{u}=1.$