UAM-A


Desigualdades

  1. Si en una desigualdad sumamos o restamos en ambos miembros cualquier cantidad, la desigualdad se conserva esto es:

                              Si  $\boldsymbol{a > b}$ (en forma análoga si en lugar de mayor es $\geq$, $<$, $\leq$).

      Entonces: $\boldsymbol{a\color{red}{+c} > b\color{red}{+c}}$

                            $\boldsymbol{a\color {red}{-c} > b\color{red}{-c}}$


  2. Si en una desigualdad multiplicamos o dividimos ambos miembros por una cantidad positiva la desigualdad se conserva esto es:

                 Si  $\boldsymbol{a \geq b}$  y  $\boldsymbol{\color{red}{c > 0}}$ (en forma análoga si en lugar de mayor es $>$, $\leq$, $<$).

      Entonces:$\boldsymbol{a\color{red}{c}\geq b\color{red}{c}}$

               $\boldsymbol{\frac{a}{\color{red}{c}}\geq \frac{b}{\color{red}{c}}}$


  3. Si en una desigualdad multiplicamos o dividimos ambos miembros por una cantidad negativa la desigualdad se invierte esto es:

                 Si  $\boldsymbol{a > b}$ y  $\boldsymbol{\color{red}{c<0}}$ (en forma análoga si en lugar de mayor es $\geq$, $<$, $\leq$).

      Entonces:$\boldsymbol{a\color{red}{c}< b\color{red}{c}}$

                      $\boldsymbol{\frac{a}{\color{red}{c}}< \frac{b}{\color{red}{c}}}$

Desigualdades Lineales

Para resolver una desigualdad lineal se aplican las tres propiedades anteriores para despejar la variable en cuestión.

Ejemplos:

1) $3x-2\leq4 $  En forma abreviada se dice que el 2 que está restando, pasa para el otro lado sumando.

    $3x-2\color{red}{+2} \leq 4\color{red}{+2}$

    $3x \leq 6$  En forma abreviada se dice que el 3 que está multiplicando, pasa para el otro lado dividiendo.

    $3x \color{red}{(\frac{1}{3})} \leq 6\color{red}{(\frac{1}{3})} $

    $x \leq 2$

Gráficamente:

Como intervalo:

                                          $\boldsymbol{x\in(-\infty,2]}$


2) $8-2x < 3$  Como el 8 está sumando, pasa para el otro lado restando.

    $-2x <3\color{red}{-8}$

   $-2x<-5$  Como el −2 está multiplicando pasa para el otro lado dividiendo y como es negativo invierte el sentido de la desigualdad.

    $x > \frac{-5}{\color{red}{-2}}$

    $x > \frac{5}{2}$

Gráficamente:

Como intervalo:

                                          $\boldsymbol{x\in(\frac{5}{2},\infty)}$


3) $2x+5 \geq 7x-10$ Como $7x$ está sumando, pasa para el otro lado restando. Lo mismo pasa con el 5 en el miembro contrario.

   $2x\color{red}{-7x}\geq -10\color{red}{-5}$

  $-5x \geq -15$ Como el −5 está multiplicando pasa para el otro lado dividiendo y como es negativo invierte el sentido de la desigualdad.

   $x\leq \frac{-15}{\color{red}{-5}}$

    $x \leq 3$

Gráficamente:

Como intervalo:

                                          $\boldsymbol{x\in(-\infty,3]}$