UAM-A


Desigualdades racionales

Una desigualdad racional se puede reducir al tipo  $\frac{u}{v}< 0$  donde  $u$  y  $v$  son expresiones algebraicas (la relación podría ser  $\leq$,  o también  $>$  o  $\geq$   y se trataría de manera análoga) se puede resolver aplicando propiedades algebraicas o por puntos de separación que pensamos que es más sencillo. Empezaremos por puntos de separación.

Solución de desigualdades racionales por puntos de separación

Se considera que para que  $y=\frac{u}{v}$  cambie de signo debe pasar por cero o por no estar definida cuando el denominador es igual a cero.

Así, se resuelve primero  $y=\frac{u}{v}=0$,  esto es  $u=0$  y luego  $y=\frac{u}{v}$ no existe, esto es  $v=0$.

Con esos puntos se divide el eje real en intervalos en los que se averiguará el signo de $y=\frac{u}{v}$,  tomando un valor de prueba cualquiera dentro de cada intervalo, pero que no sean los extremos, y se concluirá que ese signo del cociente se conserva en todo ese intervalo.


Solución Algebraica de desigualdades racionales

Para resolver algebraicamente la desigualdad  $\frac{u}{v}\leq0$  se aplica la regla de los signos:

  1. Un número positivo dividido entre un número negativo da un número negativo $(\frac{+}{-}=-)$.
  2. Un número negativo dividido entre un número positivo da un número negativo $(\frac{-}{+}=-)$.
  3. Un número positivo dividido entre un número positivo da un número positivo $(\frac{+}{+}=+)$.
  4. Un número negativo dividido entre un número negativo da un número positivo $(\frac{-}{-}=+)$.

Hay dos casos para que el resultado sea negativo o positivo por lo que se deberá tomar la unión de esos dos casos.

Para $\frac{u}{v} \leq 0$   (resultado negativo o cero)

Caso 1)  $u \geq 0$ y $v < 0$ (como se deben cumplir las dos condiciones se intersectan esos dos resultados)

y unir con

Caso 2)  $u \leq 0$ y $v > 0$ (intersectando esos dos resultados)



Otra forma de solución gráfica de desigualdades racionales

Otra forma de solución de sigualdades racionales consiste en representar gráficamente el lugar geométrico definido por el numerador y el lugar geométrico definido por el denominador, analizar dónde son mayores o menores que cero y aplicar la regla de los signos.