UAM-A

Función Racional

Una función racional tiene la forma  $f(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$  donde $P_n(x)$ es una constante o un polinomio de grado $n$  y  $Q_m(x)$ es otro polinomio de grado  $m$.

El ejemplo básico de una función racional es la hipérbola (girada y trasladada) cociente de dos polinomios de primer grado o constante sobre polinomio de primer grado, que en su forma más simple es $f(x)=\frac{1}{x}$ cuya gráfica es:

  • Otro Ejemplo:

    Para la función  $f(x)=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}$

    Obtener el dominio, los ceros o raíces, la paridad, el punto de corte al eje $y$, las asíntotas verticales y horizontales, los intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades, el esbozo gráfico, el rango, la monotonía y los intervalos donde es positiva o cero y donde es negativa.

    • Dominio: el dominio de la función son todos los reales tales que su denominador es diferente de cero:

                                                           $x^3-16x\neq0$  
                                                           $x(x^2-16)\neq0$
                                                            $x\neq0$     $x^2\neq16$
                                                                 $x\neq\pm4$
                                                           $x\in\mathbb{R}-\left \{ -4,0,4 \right \}$

      o  $D_f=(-\infty,-4)\cup(-4,0)\cup(0,4)\cup(4,\infty)$,  ya que para esos valores de  $x$  se puede obtener su valor correspondiente de  $y$.

    • Ceros o raíces: $y=f(x)=0$

                                     $\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=0$
                                     $x^3-9x=0$
                                     $x(x^2-9)=0$
                                     $x=0$  pero $x=0 {\notin} D_f$  entonces no es raíz
                                     $x^2=9$
                                     $x=\pm3$

      La función tiene dos raices $x=-3$ y $x=3$.

      La gráfica corta al eje  $x$  en  $-3$  y  $3$ coordenadas  $(-3,0)$  y  $(3,0)$

    • Paridad:$$f(-x)=\frac{(-x)^3-9(-x)}{(-x)^3-16(-x)}=\frac{-x^3+9x}{-x^3+16x}=\frac{-(x^3-9x)}{-(x^3-16x)}=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=f(x)$$

      $f(x)$  es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje  $y$.


    • Punto de corte al eje  $\boldsymbol{y}$:

      $y=f(0)$  pero  $x=0\notin D_f, \; \;f(0)$ no existe. Por lo que no hay punto de corte al eje  $y$.

    • Asíntotas verticales: (calcular el límite de la función en los valores que generen una división entre cero en la función) $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}: \;\frac{0}{0} \; indeterminado. $$ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x^2-9)}{x(x^2-16)}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2-9}{x^2-16}=\frac{-9}{-16}=\frac{9}{16}\approx0.56$$

      La función no tiene asíntota vertical en  $x=0$

      $$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-9}{x^2-16}: \;\frac{7}{0} \; \; ¿-\infty, \infty \; \; \text{o no existe}? $$ Hay que calcular límites laterales: $$\lim_{x\rightarrow 4^+}\frac{x^2-9}{x^2-16}=\frac{7}{0^+}=\infty$$ $x$  se acerca a  $4$  por la derecha tomando valores como  $4.1$, $4.01$, $4.001$  etc. entonces el denominador se acerca a cero tomando únicamente valores positivos y el cociente de un número positivo entre un número positivo da un número positivo, por lo que el resultado del límite es infinito. $$\lim_{x\rightarrow 4^-}\frac{x^2-9}{x^2-16}= \frac{7}{0^-}=-\infty$$  $x$  se acerca a  $4$  por la izquierda tomando valores como  $3.9$, $3.99$, $3.999$  etc. entonces el denominador se acerca a cero tomando únicamente valores negativos y el cociente de un número positivo entre un número negativo da un número negativo, por lo que el resultado del límite es menos infinito. $$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-9}{x^2-16} \; \; \; \text{ no existe}$$ No existe, ya que los 2 límites laterales son diferentes.

      •  $f(x)$  tiene una asíntota vertical de ecuación  $x=4$  y por la paridad de la función tendrá otra de ecuación  $x= - 4$,  la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje  $y$.
    • Asíntotas horizontales: (calcular el límite de la función en infinito y en menos infinito) $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-9}{x^2-16}: \;\frac{\infty}{\infty} \; \text{Indeterminado.} $$ $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2(1-\frac{9}{x^2})}{x^2(1-\frac{16}{x^2})}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{16}{x^2}}=\frac{1-0}{1-0}=1 $$ y análogamente
      $$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2-9}{x^2-16}=1 $$ $f(x)$  tiene una asíntota horizontal de ecuación  $y=1$.

    • Intervalos de continuidad:  $f(x)$  es continua en su dominio ya que $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=\frac{a^3-9a}{a^3-16a}=f(a)$$ para todo valor de $a$ diferente de   $-4,$   $0$   y  $4$. Por lo que $f(x)=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}$ es continua en el intervalo $(-\infty,-4)\cup(-4,0)\cup(0,4)\cup(4,\infty)$

    • Clasificación de discontinuidades: la función es discontinua removible en  $x=0$  ya que tiene límite en ese punto $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=\frac{9}{16}\approx0.56$, la gráfica presenta un agujero de coordenadas $(0 ,\frac{9}{16})$. Y es discontinua esencial infinita en  $x=4$  y en  $x=-4$  porque los límites en esos puntos no existen.

    • Esbozo gráfico:


    • Rango: $y\in(-\infty,\frac{9}{16})\cup(1,\infty) $  o  $R_f$=$ (-\infty,\frac{9}{16})\cup(1,\infty) $

    • Monotonía:
      $y=f(x)$ crece para  $ x\in(-\infty,-4)$  (los valores de  $y$  aumentan, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje  $x$).
      $y=f(x)$  crece también para $ x\in(-4,0)$.

      • $y=f(x)$  decrece para $ x\in(0,4)$ (los valores de $y$ disminuyen, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje $x$).
      $y=f(x)$  decrece también para $ x\in(4,\infty)$.

    • Intervalos donde la función es positiva o cero y donde es negativa.

      De la gráfica se puede ver que

      $\boldsymbol{y=f(x)\geq0:} \text{ para } x\in(-\infty,-4)\cup[-3,0)\cup(0,3]\cup(4,\infty)$

      • $\boldsymbol{y=f(x)<0:} \text{ para } x\in(-4,-3)\cup(3,4)$