Una desigualdad cuadrática se puede reducir a la forma $\boldsymbol{ax^2+bx+c\geq0}$ (la relación podría ser $>$ o también
$<$ o $\leq$ y se trataría de manera análoga) donde $a$, $b$ y $c$
son constantes con $\boldsymbol{a\neq0}$.
Para resolver este tipo de desigualdad, primero analizaremos la igualdad: $$ax^2+bx+c=0$$
donde las raíces son:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
De geometría analítica sabemos que la representación gráfica de una función cuadrática $y=f(x)= ax^2+bx+c$ con
$a\neq0$
es una parábola con eje de simetría vertical. Abre hacia arriba si $a > 0$ o hacia abajo si $a < 0$, que corta al eje $y$ en $c$ y en los reales puede tener dos raíces diferentes o una raíz doble o ninguna, según sea el valor del
discriminante $(b^2-4ac)$.
Las coordenadas del vértice son $(x_V , y_V)$ donde:
$x_V=\frac{-b}{2a}$ y $y_V=f(x_V)$
O si se conocen dos puntos con el mismo valor de $y$, el valor de $x$ del vértice es el punto medio entre los dos
valores de las $x$, por la simetría de la parábola. Esto es si: $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_1)$ son dos puntos de la parábola se tiene que $x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$.
Una cuadrática se puede factorizar como $ax^2+bx+c = a(x-r_1)(x-r_2)$ (si no
tiene raíces porque $b^2-4ac<0$, tampoco se podrá factorizar como producto de dos lineales).
$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{-7}}{2}$ No está en los reales por lo que no tiene
raíces reales, su gráfica no corta al eje $x$ y no se puede factorizar como el producto de dos líneas.
Para encontrar las coordenadas del vértice tabularemos algunos puntos buscando un par que
le corresponda el mismo valor de la $y$, la absisa del vértice será el punto medio. Otra forma es calculando
las coordenadas del vértice $(x_V , y_V)$ donde:
Una desigualdad cuadrática $\boldsymbol{ax^2+bx+c\geq0}$ se puede reducir al tipo $uv \geq0$ cuando tiene raíces reales (la relación podría ser $>$ o también
$<$ o $\leq$ y se trataría de manera análoga) donde $u$ y $v$ son expresiones
lineales y se puede resolver aplicando propiedades algebraicas o por puntos de separación que pensamos que es más
sencillo, o también gráficamente. En el caso que no haya raíces la cuadrática será positiva o negativa en todos los reales.
Solución de desigualdades cuadráticas por puntos de separación
Se considera que para que el producto $y=u v$ cambie de signo debe pasar por cero o por no
estar definido (aunque para productos siempre está definido).
Así se resuelve primero $uv=0$, esto es $u=0$ y $v=0$.
Con esos puntos se divide el eje real en intervalos en los que se averiguará el signo de $y=uv$ tomando un valor de
prueba cualquiera dentro de cada intervalo pero que no sean los extremos y se concluirá que $y=uv$
tiene ese signo en todo ese intervalo.
Resolver: $\boldsymbol{3x^2+7x-1\geq 2x^2+5x+2}$
$3x^2+7x-1-2x^2-5x-2\geq 0$
$x^2+2x-3\geq0$
$(x-1)(x+3)\geq0$ $x-1=0$ y $x+3=0$
$x=1$ y $x=-3$
Que son los puntos de separación.
Los intervalos serán $(-\infty ,-3]$, $[-3,1]$ y $[1,\infty)$ que podemos ponerlos en una tabla
con el valor de prueba $x_i$ (cualquier valor dentro del intervalo) y el signo del producto para ese valor de prueba.
$Intervalo$
$x_i$
$y=(x-1)(x+3)$
$(-\infty ,-3]$
$-5\;\;$
$(-)(-)=+\;\;(\geq0)\;\;*$
$[-3,1]$
$0$
$(-)(+)=-\;\;(\leq0)\;\;\;$
$[1,\infty)$
$2$
$(+)(+)=+\;\;(\geq0)\;\;*$
Entonces la solución de $(x-1)(x+3)\geq 0$ es $\boldsymbol{x\in(-\infty,-3]\cup[1,\infty)}$.
Resolver: $\boldsymbol{-x^2+4x-4\leq0}$
$-(x-2)(x-2)\leq0$ $x-2=0$
$x=2$ que es el punto de separación.
Los intervalos serán $(-\infty ,2]$ y $[2,\infty)$ que podemos ponerlos en una tabla
con el valor de prueba $x_i$ (cualquier valor dentro del intervalo) y el signo del producto para ese valor de prueba.
$Intervalo$
$x_i$
$y=-(x-2)(x-2)$
$(-\infty ,2]$
$0$
$-(-)(-)=-\;\;(\leq0)\;\;*$
$[2,\infty)$
$4$
$-(+)(+)=-\;\;(\leq0)\;\;*$
Entonces la solución de $-(x-2)(x-2)\leq0$ es $\boldsymbol{x\in\mathbb{R}}$.
Resolver: $\boldsymbol{5-3x-2x^2 > 0}$
$(-2x-5)(x-1)>0$ $-2x-5=0$ y $x-1=0$
$x=-\frac{5}{2}$ y $x=1$
Que son los puntos de separación.
Los intervalos serán $(-\infty ,-\frac{5}{2})$, $(-\frac{5}{2},1)$ y $(1,\infty)$ que podemos ponerlos en una tabla
con el valor de prueba $x_i$ (cualquier valor dentro del intervalo) y el signo del producto para ese valor de prueba.
$Intervalo$
$x_i$
$y=(-2x-5)(x-1)$
$(-\infty ,-\frac{5}{2}]$
$-4\;\;$
$(+)(-)=-\;\;(<0)\;\;\;$
$[-\frac{5}{2},1]$
$0$
$(-)(-)=+\;\;(>0)\;\;*$
$[1,\infty)$
$2$
$(-)(+)=-\;\;(<0)\;\;\;$
Entonces la solución de $(-2x-5)(x-1) > 0$ es $\boldsymbol{x\in(-\frac{5}{2},1)}$.
Resolver: $\boldsymbol{x^2-x+2>0}$
No tiene raíces reales, su gráfica no corta al eje $x$ y no se puede factorizar como el producto de dos lineales.
Como no tiene raíces reales el intervalo será los Reales.
$Intervalo$
$x_i$
$y=x^2-x+2$
$(-\infty ,\infty)$
$0$
$+\;\;\;\;\;\;(>0)\;\;*$
Entonces la solución es $\boldsymbol{x\in\mathbb{R}}$.
Resolver: $\boldsymbol{x^2-x+2<0}$
No tiene raíces reales, su gráfica no corta al eje $x$ y no se puede factorizar como el producto de dos lineales.
Como no tiene raíces reales el intervalo será los reales.
$Intervalo$
$x_i$
$y=x^2-x+2$
$(-\infty ,\infty)$
$0$
$+\;\;\;\;\;\;(>0)\;\;$
Entonces la solución es vacía $\boldsymbol\varnothing$, ningún valor de $x$ satisface la desigualdad.
Solución Algebraica de desigualdades cuadráticas
Para resolver algebraicamente la desigualdad $uv\leq0$, se aplica la regla de los signos:
Un número positivo multiplicado por otro número negativo da un número negativo $(+)(-)=-$.
Un número negativo multiplicado por otro número positivo da un número negativo $(-)(+)=-$.
Un número positivo multiplicado por otro número positivo da un número positivo $(+)(+)=+$.
Un número negativo multiplicado por otro número negativo da un número positivo $(-)(-)=+$.
Hay dos casos para que el resultado sea negativo o positivo por lo que se deberá tomar la unión de esos dos casos.
Para $uv\geq0$ (resultado positivo o cero):
caso 1) $u\geq0$ y $v\geq0$ (como se deben cumplir las dos condiciones se intersectan esos dos resultados)
y unir con
caso 2) $u\leq0$ y $v\leq0$ (intersectando esos dos resultados)
Resolver: $\boldsymbol{3x^2+7x-1\geq 2x^2+5x+2}$
$3x^2+7x-1-2x^2-5x-2\geq 0$
$x^2+2x-3\geq0$
$(x-1)(x+3)\geq0$
Caso 1) $x-1\geq0$ y $x+3\geq0$
$x\geq1$ $\cap$ $x\geq-3$
$[1,\infty)$
Caso 2) $x-1\leq0$ y $x+3\leq0$
$x\leq1$ $\cap$ $x\leq-3$
$(-\infty,-3]$
Uniendo el caso1) con el caso2):
$\boldsymbol{x\in(-\infty,-3]\cup[1,\infty)}$
Que es la solución de la desigualdad y coincide con la solución por puntos de separación.
Resolver: $\boldsymbol{-x^2+4x-4\leq0}$
$-(x-2)(x-2)\leq0$
$(-x+2)(x-2)\leq0$
Caso 1) $-x+2\geq0$ y $x-2\leq0$
$x\leq2$ $\cap$ $x\leq2$
$(-\infty,2]$
Caso 2) $-x+2\leq0$ y $x-2\geq0$
$x\geq2$ $\cap$ $x\geq2$
$[2,\infty)$
Uniendo el caso1) con el caso2):
$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}}$
Que es la solución de la desigualdad y conicide con la solución por puntos de separación.
Resolver: $\boldsymbol{5-3x-2x^2 > 0}$
$(-2x-5)(x-1)>0$
Caso 1) $-2x-5>0$ y $x-1>0$
$x<-\frac{5}{2}$ $\cap$ $x>1$
Solución vacía, $\varnothing$
Caso 2) $-2x-5<0$ y $x-1<0$
$x>-\frac{5}{2}$ $\cap$ $x<1$
$(-\frac{5}{2},1)$
Uniendo el caso1) con el caso2):
$\boldsymbol{x\in(-\frac{5}{2},1)}$
Que es la solución de la desigualdad y conicide con la solución por puntos de separación.
Método Gráfico para resolver desigualdades cuadráticas
Consiste en graficar $y=ax^2+bx+c$ y leer de la gráfica la solución.
Los valores positivos de $y$ están arriba del eje $x $ (primer y segundo cuadrante) y
los valores negativos de $y$ están por abajo del eje $x $ (tercer y cuarto cuadrante). Según sea el caso, se ven los valores de
$x$ correspondientes sobre el eje
$x$ para los cuales la $y$ es positiva o negativa y esa será la solución.
Resolver: $\boldsymbol{3x^2+7x-1\geq 2x^2+5x+2}$
$3x^2+7x-1-2x^2-5x-2\geq 0$
$x^2+2x-3\geq0$
$(x-1)(x+3)\geq0$
Se gráfica $y=x^2+2x-3$
Si nos fijamos en los valores positivos o ceros de la $y$ en la parábola $y=x^2+2x-3$ nos damos
cuenta que corresponden a los valores de $x$ en el intervalo $(-\infty,-3]$
y en el intervalo $[1,\infty)$ cuya unión es la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2+2x-3\geq0$.
$\boldsymbol{x\in(-\infty,-3]\cup[1 ,\infty)}$
Resolver: $\boldsymbol{x^2+2x-3\leq0}$
Se gráfica $y=x^2+2x-3$
Si nos fijamos en los valores negativos o ceros de la $y$ en la parábola $y=x^2+2x-3$ nos damos cuenta que corresponden
a los valores de $x$ en el intervalo $[-3,-1]$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2+2x-3\leq0$.
$\boldsymbol{x\in[-3,-1]}$
Resolver: $\boldsymbol{x^2+2x-3>0}$
Se gráfica $y=x^2+2x-3$
Si nos fijamos en los valores positivos de la $y$ en la parábola $y=x^2+2x-3$ nos damos cuenta que corresponden a
los valores de $x$ en el intervalo $(-\infty,-3)$ y en el intervalo $(1,\infty)$ cuya unión es la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2+2x-3>0$.
$\boldsymbol{x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)}$
Resolver: $\boldsymbol{x^2+2x-3<0}$
Se gráfica $y=x^2+2x-3$
Si nos fijamos en los valores negativos de la $y$ en la parábola $y=x^2+2x-3$ nos damos cuenta que corresponden
a los valores de $x$ en el intervalo $(-3,-1)$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2+2x-3<0$ .
$\boldsymbol{x\in(-3,1)}$
Ejemplo2
Resolver: $\boldsymbol{-x^2+4x-4 \geq0}$
Se gráfica $y=-x^2+4x-4$
Si nos fijamos en los valores positivos o cero de la $y$ en la parábola $y=-x^2+4x-4$ nos damos cuenta que
corresponde nada más al punto $x=2$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=-x^2+4x-4\geq0$.
$\boldsymbol{x = 2}$
Resolver: $\boldsymbol{-x^2+4x-4 \leq 0}$
Se gráfica $y=-x^2+4x-4$
Si nos fijamos en los valores negativos o cero de la $y$ en la parábola $y=-x^2+4x-4$ nos damos cuenta que corresponden
a todos los valores de $x$ (en los $\mathbb{R}$ ) que es la solución gráfica de la desigualdad $y=-x^2+4x-4\leq0$.
$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}}$
Resolver: $\boldsymbol{-x^2+4x-4>0}$
Se gráfica $y=-x^2+4x-4$
Si nos fijamos en los valores positivos de la $y$ en la parábola $y=-x^2+4x-4$ nos damos cuenta que no
hay por lo tanto la solución gráfica de la desigualdad $y=-x^2+4x-4>0$ es $x$ en el vacío ($\varnothing$).
$\boldsymbol{x\in\varnothing}$
Resolver: se gráfica $\boldsymbol{-x^2+4x-4<0}$
Se gráfica $y=-x^2+4x-4$
Si nos fijamos en los valores negativos de la $y$ en la parábola $y=-x^2+4x-4$ nos damos cuenta que corresponden a
los valores de $x$ en el intervalo $(-\infty,2)\cup(2,\infty)$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=-x^2+4x-4<0$.
$\boldsymbol{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty)}$
Ejemplo3
Resolver: $\boldsymbol{5-3x-2x^2 \geq 0}$
Se gráfica $y=5-3x-2x^2$
Si nos fijamos en los valores positivos o ceros de la $y$ en la parábola $y=5-3x-2x^2$ nos damos cuenta que corresponden
a los valores de $x$ en el intervalo $[-\frac{5}{2},1]$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=5-3x-2x^2 \geq 0$.
$\boldsymbol{x\in[-\frac{5}{2},1]}$
Resolver: $\boldsymbol{5-3x-2x^2 \leq 0}$
Se gráfica $y=5-3x-2x^2$
Si nos fijamos en los valores negativos o ceros de la $y$ en la parábola $y=5-3x-2x^2$ nos damos cuenta que corresponden a los valores de $x$
en el intervalo $(-\infty,-\frac{5}{2}]$ y en el intervalo $[1,\infty)$ cuya unión es la solución gráfica de la desigualdad $y=5-3x-2x^2 \leq 0$.
Si nos fijamos en los valores positivos de la $y$ en la parábola $y=5-3x-2x^2$ nos damos cuenta
que corresponden a los valores de $x$
en el intervalo $(-\frac{5}{2},1)$ que es la solución gráfica de la desigualdad $y=5-3x-2x^2>0$.
$\boldsymbol{x\in(-\frac{5}{2},1)}$
Resolver: $\boldsymbol{5-3x-2x^2<0}$
Se gráfica $y=5-3x-2x^2$
Si nos fijamos en los valores negativos de la $y$ en la parábola $y=5-3x-2x^2$ nos damos cuenta que corresponden
a los valores de $x$
en el intervalo $(-\infty,-\frac{5}{2})$ y en el intervalo $(1,\infty)$ cuya unión es la solución gráfica de la desigualdad $y=5-3x-2x^2<0$.
Si nos fijamos en los valores positivos de la $y$ en la parábola $y=x^2-x+2$ nos damos cuenta que
corresponden a todos los valores de $x$
(en los $\mathbb{R}$) que es la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2-x+2>0$.
$\boldsymbol{x\in\mathbb{R}}$
Resolver: $\boldsymbol{x^2-x+2 < 0}$
Se gráfica $y=x^2-x+2$
Si nos fijamos en los valores negativos de la $y$ en la parábola $y=x^2-x+2$ nos damos cuenta
que no hay por lo tanto la solución gráfica de la desigualdad $y=x^2-x+2 <0$
es $x$ en el vacío ($\varnothing $).
