UAM-A


Dobles desigualdades

Una doble desigualdad es del tipo:  $a > b > c$  y es la intersección de  $a>b$  y  $b>c$ e implica que  $a > c$   (la relación podría ser  $\geq$  o  también  $<$  0  $\leq$  y se tratarían de la misma manera).

Por ejemplo si  $a$,  $b$  y  $c$  son números se podría tener que  $5 > 3 > 1$, donde se ve claro que $5 > 1$   y resume a  $5>3$   y   $3>1$.  En otro caso  $-7 \leq -3 \leq1$  donde  $-7\leq1$   y   resume a $-7\leq-3$   y   $-3\leq1$.

Cuando  $a$,  $b$  y  $c$  son expresiones algebraicas, una doble desigualdad  $a > b > c$ significa que se deben satisfacer simultáneamente las dos desigualdades  $a > b$  y  $b > c$  y también implica que  $a>c$.

La solución de  $a > b > c$  será la intersección de la soluciones de  $a > b$  y  $b > c$,  ya que se deben satisfacer ambas desigualdades.


Ejemplos

  1. Resolver:  $3x + 2 ≥ 2 - 4x ≥ 5x - 3$

      $3x + 2 ≥ 2 - 4x $               y               $2 – 4x ≥ 5x – 3$

    $3x +4x ≥ 2 - 2 $                            $– 4x-5x ≥ – 3-2$

            $7x ≥ 0$                                          $- 9x ≥ - 5$

              $x ≥ 0$                      $\cap $                      $x ≤ \frac{5}{9}$

    Gráficamente:

    $\boldsymbol{0 ≤ x ≤ \frac{5}{9}}$

    o   $\boldsymbol{x\in[\;0,\frac{5}{9}\;] }$


  2. Resolver:  $9\leq2-4x\leq12$

    $9-2\leq 2-4x-2 \leq12-2$

    $7\leq -4x \leq10$

    $\frac{7}{-4}\geq \frac{-4x}{-4} \geq\frac{10}{-4}$

    $-\frac{7}{4}\geq x \geq-\frac{10}{4}$

    $-\frac{5}{2}\leq x \leq-\frac{7}{4}$

    Gráficamente:

    $\boldsymbol{x\in[-\frac{5}{2},-\frac{7}{4}] }$


  3. Resolver:  $2x-1 < x-2\leq-x^2$

    $2x-1 < x-2 $              y               $x-2\leq-x^2$

    $2x-x < -2+1 $                    $x^2+x-2\leq0$   (Se resulve la desigualdad cuadrática)

            $x < -1$                  $\cap             $          $-2\leq x\leq1$  (Solución de la desigualdad cuadrática)

    Gráficamente:

    $\boldsymbol{-2≤ x< -1}$   o   $\boldsymbol{x\in[-2,-1)} $