1. Resolver las siguientes desigualdades:
a) −3x2+5≥−x+1
Pasando todos los términos de lado derecho de la desigualdad se obtiene
0≥3x2−x+1−5
0≥3x2−x−4
Se factoriza el lado derecho de la desigualdad para obtener
0≥(3x−4)(x+1)
La solución de la desigualdad corresponde a la unión de las soluciones de los siguientes casos:
Caso i) Un término mayor o igual a cero y el otro menor o igual a cero
3x−4≥0→x≥43 y x+1≤0→x≤−1
Sol=∅
Caso ii) Los términos con el signo contrario al caso anterior
3x−4≤0→x≤43 y x+1≥0→x≥−1
Sol=[−1,43]
Por lo tanto, la solución total de la desigualdad es el intervalo [−1,43]
b) 5−3x4x−2≤2
Pasando todos los términos de lado derecho de la desigualdad se obtiene
0≤2−5−3x4x−2→0≤2+3x−54x−2→0≤11x−94x−2
La solución de la desigualdad corresponde a la unión de las soluciones de los siguientes casos:
Caso i) El numerador del cociente en la desigualdad mayor o igual a cero y el denominador positivo
(11x−9≥0→x≥911) y (4x−2>0→x>12)
Sol=[911,∞)
Caso ii) El numerador del cociente en la desigualdad menor o igual a cero y el denominador negativo
(11x−9≤0→x≤911) y (4x−2<0→x<12)
Sol=(∞,12]
Por lo tanto, la solución total de la desigualdad es el intervalo
(∞,12]∪[911,∞)
2. Considerar las funciones
f(x)=√x−1 y g(x)=2x+32x2−2
a) Determinar el dominio y las raíces (ceros) de cada función
El dominio de f son aquellos valores de x para los que la raíz cuadrada es mayor o igual a cero
Dom (f)={x∈R:x−1≥0}=x≥1=[1,∞)
Las raíces de f son aquellos valores de x para los que f(x) = 0
(√x−1=0 → x−1=0 → x=1)
∴ Raíces(f)={1}
El dominio de g son aquellos valores de x para los que el denominador de la función es diferente de cero
2x2−2≠0 → x2≠1 → x≠±1]
Dom (g)={x∈R:2x2−2≠0}=R−{±1}
Las raíces de g son aquellos valores de x para los que g(x) = 0. Como el denominador debe ser diferente de cero, entonces el numerador se iguala a cero
2x+3=0 → x=−32
Raíces (g)={−32}
b.1) Determinar las fórmulas y dominio de (fg)(x) y (g∘f)(x)
(fg)(x)=f(x)g(x)=√x−12x+32x2−2=(2x2−2)√x−12x+3
El dominio de fg es la intersección del dominio de f y g, , excepto los valores de x para los que g(x)=0
Dom(fg)=Dom(f)∩Dom(g)−{x∈R:g(x)=0}
Dom(fg)=[[1, ∞)∩(R−{±1}) ]−{−32}
Dom(fg)=(1,∞)−{−32}=(1,∞)
b.2) Determinar las fórmulas y dominio de (g∘f)(x)
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(√x−1)=2√x−1+32(√x−1)2−2=2√x−1+32x−4
El dominio de la composición son los valores de f(x) que pertenecen al dominio de g(x)
Dom(g∘f)={x∈Df:f(x)∈Dg}
Dom(g∘f)={x∈[1,∞):√x−1∈R−{±1}}
Dom(g∘f)={x∈[1,∞):x≠2}=[1,∞)−{2}
3. Un recipiente cilíndrico con tapa tiene una altura igual al doble de su radio.
h=2r→r=h2
a) Expresar el área del recipiente en función de su altura h
Área recipiente = Área base + Área cilindro + Área Tapa
=πr2+h2πr+πr2=2πr2+hπ2r
=2π(h2)2+hπh
=12πh2+πh2
∴A(h)=32πh2
b) Expresar el volumen del recipiente en función de su radio r
Volumen del recipiente = Área de la base * Altura
=(πr2)h=(πr2)(2r)
∴V(r)=2πr3
4. Calcular los siguientes límites:
a) limx→0sen(4x)−4x2x
=limx→0sen(4x)2x−limx→04x2x
=2limx→0sen(4x)4x−limx→02=2(1)−2=0
b) limu→9√u−6 − √3u−9
=limu→9(√u−6−√3)(√u−6+√3)(u−9)(√u−6+√3)
=limu→9(u−6−3)(u−9)(√u−6+√3)
=limu→9u−9(u−9)(√u−6+√3)
=1√3+√3=12√3
c) limx→∞(x−√x2+x−1)
=limx→∞(x−√x2+x−1)(x+√x2+x−1)(x+√x2+x−1)
=limx→∞x2−(x2+x−1)x+√x2+x−1
=limx→∞−x+1x+√x2+x−1=
=limx→∞−xx+1xxx+1x√x2+x−1
=limx→∞−1+1x1+√1+1x−1x2=
−11+√1=−12
5.- En el intervalo [−π,π] realizar un bosquejo gráfico de la función f(x)=2sen(2x−π)−2. Describiendo el orden y el tipo de operaciones gráficas utilizadas.
sen(x) en el intervalo [π,π]
Se resta π2 del argumento (x) para establecer un desplazamiento horizontal a la derecha en la gráfica. Después, se multiplica el argumento por 2, lo que corresponde a una compresión horizontal.
sen(2(x−π2))=sen(2x−π) en el intervalo [−π,π]
Se multiplica la función por 2 para establecer una elongación vertical. Por último, se resta 2 a la función, con lo que se su grafica se desplaza verticalmente hacia abajo. La función y gráfica finales son las siguientes:
f(x)=2sen(2x−π)−2 en el intervalo [−π,π]
Obtener el rango, amplitud y periodo de f(x).
Rango: Los valores en el eje y para los cuales f(x) está definida
Rango=[−4,0]
Raíces: Valores de x para los que f(x)=0 en el intervalo [−π,π]. Donde la gráfica toca al eje x
Raices:x=−π4 y x=3π4
Amplitud: La distancia vertical desde la línea horizontal que divide a la función a la mitad hasta el punto más alto o bajo de la función.
Amplitud =2
Periodo: La distancia en la que la función vuelve a tomar un mismo valor, por ejemplo f(0)=-2 y f(π)=-2.
Periodo = π
6. Sea la función f(x)=2x2−9x+10x2+x−6. Obtener
a) Dominio, raíces (o ceros), paridad y punto de corte con el eje y.
f(x)=2x2−9x+10x2+x−6=(2x−5)(x−2)(x+3)(x−2)
Dominio: valores de x con los que el denominador de la función es diferente de cero
Dom(f)=R−−3,2
Raíces: valores de x para los que f(x)=0. El denominador no puede ser cero, por lo tanto
(2x−5)(x−2)=0
2 no es parte del dominio de la función, entonces
2x−5=0
Raíz:x=52
Paridad: f(2) no está definida y f(−2)=−9, por lo tanto, la función no tiene paridad.
El punto de corte con el eje y se obtiene evaluando la función en x=0
f(0)=−53
b) Ecuaciones de la asíntotas horizontales y verticales
Para determinar si la función tiene asíntotas horizontales, se calcula el límite de la función cuando x tiende a más y menos infinito
limx→−∞f(x)=2x2−9x+10x2+x−6
=limx→−∞f(x)=(2x2−9x+10)1x2(x2+x−6)1x2
limx→−∞f(x)=2−9x+10x21+1x−6x2=2
Análogamente limx→∞f(x)=2
∴y=2 es una asíntota horizontal
Como la función no está definida en x=−3 y x=2, se calcula el límite cuando x tiende a estos valores para determinar si la función tiene asíntotas verticales o si tiene alguna discontinuidad removible.
Primero se calcula el límite de la función cuando x tiende, por la derecha y por la izquierda, a −3.
f(x)=(2x−5)(x−2)(x+3)(x−2)=2x−5x+3
Al acercarnos a −3 por la izquierda con valores como −3.1 por ejemplo, el resultado del denominador x+3 es negativo y cada vez más pequeño en magnitud, por lo tanto
limx→−3−2x−5x+3=∞
limx→−3+2x−5x+3=−∞
∴x=−3 es una asíntota vertical
c) Bosquejo gráfico
d) Intervalos de continuidad y clasificar los tipos de discontinuidades
En x=−3 se determinó una discontinuidad infinita.
Ahora se calcula el límite de la función cuando x tiende a 2
limx→2(2x−5)(x−2)(x+3)(x−2)=limx→22x−5x+3=−15
∴ El punto (2,−15) es una discontinuidad removible.
Los intervalos de continuidad son entonces (−∞,−3)∪(−3,2)∪(2,∞)
e) Rango (o imagen), monotonía y para qué valores de x,f(x)≥0.
A partir de la gráfica se observa que los intervalos del rango son (−∞,−15)∪(−15,2)∪(2,∞)
A partir de la gráfica se observa que los intervalos de monotonía son
Creciente: ((−∞,−3)∪(−3,2)∪(2,∞))
Los intervalos en los que la función es positiva, es decir, en los que su gráfica está encima del eje x son f≥0 en (−∞,−3)∪(52,∞)
7. Determinar los valores de las constantes a y b para que la siguiente función sea continua en todo su dominio
f(x){3−ax2 si x<−32−3b si x=−310x−1 si x>−3
Para que f sea continua se debe cumplir
limx→−3−f(x)=limx→−3+f(x) y limx→−3f(x)=f(−3)
Entonces, calculando los respectivos límites se obtiene
limx→−3−3−ax2=3−9a y limx→−3+10x−1=−31
Se igualan ambos resultados para obtener el valor de a
3−9a=−31→a=349
Ahora se considera la parte de la función en x=−3 para obtener el valor de b
f(−3)=2−3b
−31=2−3b→b=11
Por lo tanto, a=349 y b=11 hacen a f continua en todo su dominio.
8.- Encontrar un intervalo de longitud π4 o menor, que contenga una solución de la ecuación cos(x)−2x+4=0. Justifique su respuesta utilizando el teorema del valor intermedio.
Considerando f(x)=cos(x)−2x+4
Aplicando el teorema de valor intermedio se obtiene
f(π2)=cos(π2)−2π2+4=0−π+4>0
f(3π4)=cos(3π4)−2(3π4)+4=−112−3π2+4<0
∴ En el intervalo [π2,3π4] existe una raíz de la ecuación
